Cum să găsiți unghiul dintre doi vectori: 12 pași

În matematică, un vector este orice obiect care are o lungime definită, cunoscută sub numele de magnitudine și direcția. Deoarece vectorii nu sunt aceiași cu liniile standard sau formele, va trebui să utilizați câteva formule speciale pentru a găsi unghiuri între ele.

Pași

Partea 1 din 2:

Găsirea unghiului dintre doi vectori

1. Notați formula cosinică. Pentru a găsi unghiul θ între doi vectori, începeți cu formula pentru găsirea cosinului acelui unghi. Puteți afla despre această formulă de mai jos sau doar scrieți-o:

COSθ = ( $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ • $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ ) / (|| $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ || || $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ ||)

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ || mijloace "lungimea vectorului

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ ."

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ •

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ este produsul punct (produs scalar) al celor doi vectori, explicat mai jos.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 1

2. Identificați vectorii. Notați toate informațiile pe care le aveți referitoare la cei doi vectori. Vom presupune că aveți doar definiția vectorului în ceea ce privește coordonatele sale dimensionale (numite și componente). Dacă cunoașteți deja o lungime a vectorului (magnitudinea sa), veți putea sări peste câțiva pași de mai jos.

Exemplu: vectorul bidimensional

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ = (2,2). Vector

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ = (0,3). Acestea pot fi, de asemenea, scrise ca

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ = 2I + 2J și

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ = 0I + 3J = 3J.

În timp ce exemplul nostru utilizează vectori bidimensionali, instrucțiunile de mai jos acoperă vectorii cu orice număr de componente.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 3

3. Calculați lungimea fiecărui vector. Imaginați-vă un triunghi drept extras din componenta x-componentă, Y-component și vectorul în sine. Vectorul formează ipoteza triunghiului, astfel încât să-și găsească lungimea pe care o folosim teorema pirhagoreană. După cum se dovedește, această formulă este ușor extinsă la vectori cu orice număr de componente.

||U|| = U₁ + U₂. Dacă un vector are mai mult de două componente, pur și simplu continuați să adăugați + u₃ + U₄ + ...

Prin urmare, pentru un vector bidimensional, ||U|| = √ (u₁ + U₂).

În exemplul nostru, ||

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ || = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ || = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 4

4. Calculați produsul punct al celor doi vectori. Probabil ați învățat deja această metodă de multiplicare a vectorilor, numită și Produs scalar.

Pentru a calcula produsul punct în ceea ce privește componentele vectorilor, înmulțiți componentele din fiecare direcție împreună, apoi adăugați toate rezultatele.

Pentru programele grafice de calculator, consultați sfaturile înainte de a continua.

Găsirea unui exemplu de produs punct
În termeni matematici, $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ • $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ = U₁v₁ + U₂v₂, unde u = (u₁, U₂). Dacă vectorul dvs. are mai mult de două componente, pur și simplu continuați să adăugați + u₃v₃ + U₄v₄...
În exemplul nostru, $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ • $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ = U₁v₁ + U₂v₂ = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. Acesta este produsul punct al vectorului $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ și $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ .

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 5

5. Conectați-vă rezultatele în formula. Tine minte,

COSθ = (

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ •

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ ) / (||

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ || ||

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ ||).

Acum știți atât produsul punct, cât și lungimile fiecărui vector. Introduceți aceste în această formulă pentru a calcula cosinul unghiului.

Găsirea cosinului cu produsul Dot și lungimi vectoriale
În exemplul nostru, COSθ = 6 / (2√2

3) = 1 / √2 = √2 / 2.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 6

6. Găsiți unghiul pe baza cosiniei. Puteți utiliza funcția ARCCOS sau COS pe calculatorul dvs. la

Găsiți unghiul θ de la o valoare cunoscută Cos θ.

Pentru unele rezultate, este posibil să puteți rezolva unghiul bazat pe cercul unității.

Găsirea unui unghi cu cosinus
În exemplul nostru, COSθ = √2 / 2. introduce "ARCCOS (√2 / 2)" în calculatorul dvs. pentru a obține unghiul. Alternativ, găsiți unghiul θ pe cercul unității unde COSθ = √2 / 2. Acest lucru este valabil pentru θ = /₄ sau 45 °.
Punerea tuturor împreună, formula finală este:
unghi θ = arccosină (( $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ • $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ ) / (|| $\vec{U}$ ${ overryarrow {U}}$ || || $\vec{v}$ ${ ceargharrow {v}}$ ||))

Partea 2 din 2:

Definirea formulei unghiului

1. Înțelegeți scopul acestei formule. Această formulă nu a fost derivată din regulile existente. În schimb, a fost creată ca o definiție a unui produs dot al doi vectori și unghiul dintre ele. Cu toate acestea, această decizie nu a fost arbitrară. Cu o privire înapoi la geometria de bază, putem vedea de ce această formulă are ca rezultat definiții intuitive și utile.

Exemplele de mai jos utilizează vectori bidimensionali, deoarece acestea sunt cele mai intuitive de utilizat. Vectorii cu trei sau mai multe componente au proprietăți definite cu formula de caz foarte asemănătoare.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 8

2. Examinați legea cosinelor. Luați un triunghi obișnuit, cu unghi θ între laturi A și B, și partea opusă C. Legea cosinelor afirmă că C = A + B -2Abcos(θ). Acest lucru este derivat destul de ușor de geometria de bază.

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 9

3. Conectați doi vectori pentru a forma un triunghi. Schițați o pereche de vectori 2D pe hârtie, vectori

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ și

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ , cu unghi θ între ele. Desenați un al treilea vector între ele pentru a face un triunghi. Cu alte cuvinte, trageți vectorul

\vec{C}

${ overryarrow {c}}$ astfel încât

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ +

\vec{C}

${ overryarrow {c}}$ =

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ . Acest vector

\vec{C}

${ overryarrow {c}}$ =

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ .

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 10

4. Scrieți legea cosinelor pentru acest triunghi. Introduceți lungimea noastră "Vector triunghi" Părți în legea cosinelor:

||(a - b)|| = ||A|| + ||B|| - 2||A|| ||B||cos(θ)

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 11

5. Scrieți acest lucru utilizând produsele Dot. Amintiți-vă, un produs punct este mărirea unui vector proiectat pe altul. Produsul dot al vectorului cu ea însăși nu necesită nici o proiecție, deoarece nu există nici o diferență în direcție. Aceasta înseamnă că

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ = ||A||. Utilizați acest fapt pentru a rescrie ecuația:

(

\vec{A}

${ overryarrow {A}}$ -

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ ) • (

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ -

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ ) =

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ - 2||A|| ||B||cos(θ)

Imaginea intitulată Găsiți unghiul dintre doi vectori Pasul 12

6. Rescrieți-l în formula familiară. Extindeți partea stângă a formulei, apoi simplificați pentru a ajunge la formula utilizată pentru a găsi unghiuri.

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ -

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ =

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ +

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ - 2||A|| ||B||cos(θ)

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ -

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ •

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ = -2||A|| ||B||cos(θ)

-2 (

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ ) = -2||A|| ||B||cos(θ)

\vec{A}

${ overryarrow {a}}$ •

\vec{B}

${ overryarrow {b}}$ = ||A|| ||B||cos(θ)

Video.

Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi împărtășite cu YouTube.

sfaturi

Pentru un conector rapid și rezolvați, utilizați această formulă pentru orice pereche de vectori bidimensionali: COSθ = (U₁ • V₁ + U₂ • V₂) / (√ (u₁ • U₂) • √ (v₁ • V₂)).

Dacă lucrați la un program grafic de calculator, cel mai probabil vă pasă doar de direcția vectorilor, nu lungimea lor. Luați acești pași pentru a simplifica ecuațiile și a accelera programul dvs .:

Normalizați fiecare vector astfel încât lungimea devine 1. Pentru aceasta, împărțiți fiecare componentă a vectorului prin lungimea vectorului.

Luați produsul punct al vectorilor normalizați în locul vectorilor originali.

Deoarece lungimea este egală cu 1, lăsați termenii de lungime din ecuația dvs. Ecuația finală pentru unghi este Arccos (

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ •

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ ).

Pe baza formulei cosinoși, putem găsi rapid dacă unghiul este acut sau obtuz. Începeți cu COSθ = (

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ •

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ ) / (||

\vec{U}

${ overryarrow {U}}$ || ||

\vec{v}

${ ceargharrow {v}}$ ||):

Partea stângă și partea dreaptă a ecuației trebuie să aibă același semn (pozitiv sau negativ).

Deoarece lungimile sunt întotdeauna pozitive, costul trebuie să aibă același semn ca produsul punct.

Prin urmare, dacă produsul Dot este pozitiv, costul este pozitiv. Suntem în primul cadran al cercului de unitate, cu θ < π / 2 sau 90º. Unghiul este acut.

Dacă produsul Dot este negativ, costul este negativ. Suntem în cel de-al doilea cvadrant al cercului de unitate, cu π / 2 < θ ≤ π sau 90º < θ ≤ 180º. Unghiul este obtuz.

Partajați pe rețeaua socială: