Cum se diferențiază funcțiile exponențiale

Funcțiile exponențiale reprezintă o categorie specială de funcții care implică exponenți care sunt variabile sau funcții. Utilizând unele dintre regulile de bază ale calculului, puteți începe prin găsirea derivatului unei funcții de bază cum ar fi $A X$ $A ^ {x}$ . Aceasta oferă apoi o formă pe care o puteți utiliza pentru orice bază numerică ridicată la un exponent variabil. Extinderea acestei lucrări, puteți găsi, de asemenea, derivatul funcțiilor în care exponentul este în sine o funcție. În cele din urmă, veți vedea cum să diferențieți "Turnul de putere", o funcție specială în care exponentul se potrivește cu baza.

Pași

Partea 1 din 4:

Diferența funcțiilor generale exponențiale

1. Începeți cu o funcție exponențială generală. Începeți cu o funcție exponențială de bază utilizând o variabilă ca bază. Prin calcularea instrumentului derivat al funcției generale în acest mod, puteți utiliza soluția ca model pentru o familie completă de funcții similare.

$Y = A X$ $y = a ^ {{x}}}$

2. Luați logaritmul natural al ambelor părți. Trebuie să manipulați funcția pentru a vă ajuta să găsiți un derivat standard în ceea ce privește variabila

X

$X$ . Acest lucru începe prin luarea logaritmului natural al ambelor părți, după cum urmează:

\ln Y = \ln A X

$ln y = ln a ^ {{x}}$

3. Eliminați exponentul. Folosind regulile logaritmilor, această ecuație poate fi simplificată pentru a elimina exponentul. Exponentul în cadrul funcției logaritm poate fi îndepărtat ca un multiplu în fața logaritmului, după cum urmează:

\ln Y = X \ln A

$ln y = x ln a$

4. Diferențiați ambele părți și simplificați. Următorul pas este să se diferențieze fiecare parte cu privire la

X

$X$ . pentru că

A

$A$ este o constantă, atunci

\ln A

$ln a$ este, de asemenea, o constantă. Derivatul

X

$X$ simplifică la 1, iar termenul dispare. Pașii sunt după cum urmează:

\ln Y = X \ln A

$ln y = x ln a$

D D X \ln Y = D D X X \ln A

${{dx} {d} {dx} {d} {dx} {d} {dx}} x {dx}} x ln a a$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln A D D X X

${{1}} {{y {}} {dx}} = {{frac {d} {dx}} x$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln A * 1

${{y}} {{y}} { Frac {dy} {dx}} = ln a * 1$

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln A

${ frac {1} {y}} { Frac {dy} {dx}} = ln a$

5. Simplificați pentru a rezolva pentru derivatul. Înmulțiți ambele părți de y pentru a izola derivatul. Folosind pașii de bază al algebrei, înmulțiți ambele părți ale acestei ecuații prin

Y

$Y$ . Acest lucru va izola derivatul

Y

$Y$ în partea stângă a ecuației. Apoi amintiți-vă că

Y = A X

$y = a ^ {x}$ , astfel încât înlocuiți valoarea pe partea dreaptă a ecuației. Pașii arată astfel:

\frac{1}{Y} D Y D X = \ln A

${ frac {1} {y}} { Frac {dy} {dx}} = ln a$

D Y D X = Y \ln A

${ frac {dy} {dx}} = y ln a$

D Y D X = A^{X} \ln A

${ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a$

6. Interpretați rezultatul final. Reamintind că funcția originală a fost funcția exponențială

Y = A X

$y = a ^ {x}$ , Această soluție arată că derivatul funcției exponențiale generale este

A X \ln A

$a ^ {x} ln a$ .

Acest lucru poate fi extins pentru orice valoare a

A

$A$ , Ca și în următoarele exemple:

D D X 2^{X} = 2^{X} \ln 2

${{dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2$

D D X 3^{X} = 3^{X} \ln 3

${{dx}} 3 {x} = 3 ^ {x} ln 3$

D D X 10^{X} = 10^{X} \ln 10

${{DX}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10$

Partea 2 din 4:

Extinderea dovada pentru derivatul e

1. Alegeți exemplul special. Secțiunea anterioară a arătat cum să diferențieze cazul general al unei funcții exponențiale cu orice constantă ca bază. Apoi, selectați cazul special în care baza este constanta exponențială

E

$E$ .

$E$ $E$ este constanta matematică care este aproximativ egală cu 2.718.
Pentru această derivare, selectați funcția specială $Y = E X$ $y = e ^ {x}$ .

2. Utilizați dovada derivatului general al funcției exponențiale. Reamintim, din secțiunea anterioară, că derivatul unei funcții generale exponențiale

A X

$A ^ {x}$ este

A X \ln A

$a ^ {x} ln a$ . Aplicați acest rezultat la funcția specială

E X

$e ^ {x}$ după cum urmează:

Y = E X

$y = e ^ {x}$

D Y D X = D D X E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}$

D Y D X = E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

3. Simplificați rezultatul. Amintiți-vă că logaritmul natural se bazează pe constanta specială

E

$E$ . Prin urmare, logaritmul natural al

E

$E$ este doar 1. Acest lucru simplifică rezultatul derivat după cum urmează:

D Y D X = E^{X} \ln E

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e$

D Y D X = E^{X} * 1

${ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1$

D Y D X = E^{X}

${ frac {dy} {dx}} = E ^ {x}$

4. Interpretați rezultatul final. Această dovadă duce la cazul special că instrumentul derivat al funcției

E X

$e ^ {x}$ este foarte funcționează în sine. Prin urmare:

D D X E^{X} = E^{X}

${{dx}} e ^ {x} = e ^ {x} = e ^ {x}$

Partea 3 din 4:

Găsirea derivatului e cu un exponent funcțional

1. Definiți-vă funcția. Pentru acest exemplu, veți găsi derivatul general al funcțiilor care au

E

$E$ ridicată la un exponent, când exponentul în sine este o funcție de

X

$X$ .

De exemplu, luați în considerare funcția $Y = E 2 X + 3$ $y = e ^ {{2x + 3}}$ .

2. Definiți variabila U { displaystyle u} $U$ . Această soluție va implica regula lanțului de instrumente financiare derivate. Amintiți-vă că regula lanțului se aplică atunci când aveți o singură funcție,

U (X)

$U (x)$ imbricate în interiorul altui lucru,

F (X)

$f (x)$ , Așa cum ai aici. Norma lanțului afirmă:

D Y D X = D Y D U * D U D X

${{}} = {{} {{{{{{{} {{{{{{{{{{{{{{{{{$} {dx}}$

În concluzie, veți defini exponentul ca o funcție separată

U (X)

$U (x)$ .

Pentru acest exemplu, exponentul este funcția imbricată

U (X)

$U (x)$ . Astfel, pentru acest exemplu:

Y = E U

$y = e ^ {u}$ , și

U = 2 X + 3

$u = 2x + 3$

3. Aplicați regula lanțului. Regula lanțului vă cere să găsiți instrumentele derivate ale ambelor funcții

Y

$Y$ și

U

$U$ . Derivatul rezultat este apoi produsul celor două.

Cele două instrumente derivate separate sunt:

D Y D U = D D U E^{U} = E^{U}

${{} dy} {} {} {d}} {d}} {d}} {}} {} = E ^ {U}}$ . (Amintiți-vă că derivatul

E X

$e ^ {x}$ este

E X

$e ^ {x}$ .)

D U D X = D D X (2 X + 3) = 2

${ frac {du} {dx}} = { frac {d} {dx} (2x + 3) = 2$

După găsirea celor două derivate separate, combinați-le pentru a găsi derivatul funcției originale:

D Y D X = D Y D U * D U D X

${{}} = {{} {{{{{{{} {{{{{{{{{{{{{{{{{$} {dx}}$

D D X E^{2 X + 3} = E^{(2 X + 3)} * 2 = 2 E^{(2 X + 3)}

${{1}}} {{2x + 3}} = E ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}$

4. Practicați un alt exemplu de E { displaystyle e} $E$ cu un exponent funcțional. Selectați un alt exemplu,

Y = E păcat X

$y = e ^ {{ Sin x}}$ .

Definiți funcția imbricată. În acest caz,

U = păcat X

$u = păcat x$ .

Găsiți derivații funcțiilor

Y

$Y$ și

U

$U$ .

D Y D U = E^{U}

${ frac {dy} {du}} = E ^ {U}$

D U D X = \cos X

${ frac {du} {dx}} = cos x$

Combinați utilizarea regulii lanțului:

Y = E păcat X

$y = e ^ {{ Sin x}}$

D Y D X = D Y D U * D U D X

${{}} = {{} {{{{{{{} {{{{{{{{{{{{{{{{{$} {dx}}$

D D X E^{păcat X} = E^{U} * \cos X = E^{păcat X} \cos X

${{{}}} {{ Sin x}} = E ^ {U} * Cos X = E ^ {{ Sin X} {{{ SIN X}} Cos X$

Partea 4 din 4:

Găsirea derivatului lui X

1. Definiți funcția. Pentru acest exemplu special, numit uneori "Turnul de putere", alegeți funcția astfel încât:

$Y = X X$ $y = x ^ {x}$

2. Găsiți logaritmul natural al fiecărei părți. Ca și înainte, soluția de aici începe cu logaritmul natural al fiecărei părți a ecuației:

\ln Y = \ln (X X)

$ln y = ln (x ^ {x})$

\ln Y = X \ln X

$ln y = x ln x$

3. Ia derivatul fiecărei părți a ecuației. În partea dreaptă a acestei ecuații, va trebui să aplicați regula produsului derivați. Reamintesc că regulile produsului afirmă că dacă