4 modalități de a găsi orice termen de o secvență aritmetică

O secvență aritmetică este orice listă de numere care diferă, de la una la alta, printr-o cantitate constantă. De exemplu, lista de numere, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... este o secvență aritmetică, deoarece diferența de la un număr din listă la următorul este întotdeauna 2. Dacă știți că lucrați cu o secvență aritmetică, vi se poate cere să găsiți termenul următor dintr-o listă dată. De asemenea, vi se poate solicita să completați un decalaj în care un termen lipsește. În cele din urmă, ați putea dori să știți, de exemplu, cel de-al 100-lea termen, fără a scrie de fapt toți cei 100 de termeni. Câțiva pași simpli vă pot ajuta să faceți oricare dintre acestea.

Pași

Metoda 1 din 4:

Găsirea următorului termen într-o secvență aritmetică

1. Găsiți diferența comună pentru secvență. Când vi se prezintă o listă de numere, vi se poate spune că lista este o secvență aritmetică sau este posibil să aveți nevoie să vă dați seama de asta pentru dvs. Primul pas este același în oricare dintre cazuri. Selectați primii doi termeni consecutivi din listă. Scade primul mandat de la al doilea termen. Rezultatul este diferența comună a secvenței dvs.

De exemplu, să presupunem că aveți lista $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... Scădea $4 - 1$ $4-1$ Pentru a găsi diferența comună de 3.
Să presupunem că aveți o listă de termeni care scade, cum ar fi $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... Încă mai scade primul mandat de la al doilea pentru a găsi diferența. În acest caz, asta vă oferă $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . Rezultatul negativ înseamnă că lista dvs. scade în timp ce citiți de la stânga la dreapta. Trebuie să verificați întotdeauna că semnul diferenței se potrivește cu direcția pe care se pare că numerele le vor merge.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 2

2. Verificați dacă diferența comună este consecventă. Găsirea diferenței comune pentru primii doi termeni nu se asigură că lista dvs. este o secvență aritmetică. Trebuie să vă asigurați că diferența este consecventă pentru întreaga listă. Verificați diferența prin scăderea a doi termeni consecutivi diferiți în listă. Dacă rezultatul este consecvent pentru una sau două perechi de termeni, atunci probabil că aveți o secvență aritmetică.

Lucrul cu același exemplu,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... alegeți al doilea și al treilea termen al listei. Scădea

7 - 4

$7-4$ , și veți afla că diferența este încă 3. Pentru a confirma, verificați încă un exemplu și scăderea

13 - 10

$13-10$ , și veți constata că diferența este în mod consecvent 3. Puteți fi destul de sigur că lucrați cu o secvență aritmetică.

Este posibil ca o listă de numere să pară a fi o secvență aritmetică bazată pe primii termeni, dar apoi eșuează după aceea. De exemplu, ia în considerare lista

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... Diferența dintre primul și al doilea termeni este 1, iar diferența dintre al doilea și al treilea termeni este de asemenea 1. Cu toate acestea, diferența dintre al treilea și al patrulea termen este de 3. Deoarece diferența nu este comună pentru întreaga listă, atunci aceasta nu este o secvență aritmetică.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 3

3. Adăugați diferența comună la ultimul termen. Găsirea termenului următor al unei secvențe aritmetice după ce știți că diferența comună este ușoară. Pur și simplu adăugați diferența comună la ultimul mandat al listei și veți obține următorul număr.

De exemplu, în exemplul lui

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., pentru a găsi următorul număr din listă, adăugați diferența comună de 3 la ultimul termen. Adăugând

13 + 3

$13 + 3$ duce la 16, care este termenul următor. Puteți continua să adăugați 3 pentru a vă face lista atâta timp cât vă place. De exemplu, lista ar fi

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... Puteți face acest lucru atâta timp cât vă place.

Metoda 2 din 4:

Găsirea unui termen intern lipsă

1. Verificați dacă începeți cu o secvență aritmetică. În unele cazuri, puteți avea o listă de numere cu un termen lipsă în mijloc. Începeți, ca înainte, verificând că lista dvs. este o secvență aritmetică. Selectați oricare doi termeni consecutivi și găsiți diferența dintre ele. Apoi verificați acest lucru împotriva altor doi termeni consecutivi din listă. Dacă diferențele sunt aceleași, puteți presupune că lucrați cu o secvență aritmetică și continuați.

De exemplu, să presupunem că aveți lista $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... Începeți prin scăderea $4 - 0$ $4-0$ Pentru a găsi o diferență de 4. Verificați acest lucru împotriva altor doi termeni consecutivi, cum ar fi $16 - 12$ $16-12$ . Diferența este din nou 4. Poti continua.

Imagine intitulată Găsiți orice perioadă a unei secvențe aritmetice Pasul 5

2. Adăugați diferența comună la termenul din fața spațiului. Acest lucru este similar cu adăugarea unui termen până la sfârșitul unei secvențe. Găsiți termenul care precede imediat spațiul din secvența dvs. Acesta este numărul "ultimul" pe care îl cunoașteți. Adăugați diferența dvs. comună la acest termen, pentru a găsi numărul care ar trebui să completeze spațiul.

În exemplul nostru de lucru,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., termenul care precede spațiul este 4, iar diferența noastră comună pentru această listă este de asemenea 4. Așadar

4 + 4

$4 + 4$ Pentru a obține 8, care ar trebui să fie numărul în spațiul gol.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 6

3. Scădea diferența comună față de termenul următor spațiului. Pentru a vă asigura că aveți răspunsul corect, verificați din cealaltă direcție. O secvență aritmetică ar trebui să fie consecventă în orice direcție. Dacă vă deplasați de la stânga la dreapta și adăugați 4, apoi mergeți în direcția opusă, de la dreapta la stânga, ați face opusul și aruncați 4.

În exemplul de lucru,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., termenul imediat după spațiul este de 12 ani. Scade diferența comună de 4 de la acest termen pentru a găsi

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . Rezultatul a 8 ar trebui să completeze spațiul gol.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 7

4. Comparați-vă rezultatele. Cele două rezultate pe care le obțineți, de la adăugarea de la partea de jos sau de la scăderea în jos din partea de sus ar trebui să se potrivească. Dacă o fac, atunci ați găsit valoarea pentru termenul lipsă. Dacă nu, atunci trebuie să vă verificați munca. Este posibil să nu aveți o adevărată secvență aritmetică.

În exemplul de lucru, cele două rezultate ale

4 + 4

$4 + 4$ și

12 - 4

$12-4$ Ambele au dat soluția de 8. Prin urmare, termenul lipsă din această secvență aritmetică este de 8. Secvența completă este

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

Metoda 3 din 4:

Găsirea termenului NTH al unei secvențe aritmetice

1. Identificați primul termen al secvenței. Nu fiecare secvență începe cu numerele 0 sau 1. Uită-te la lista numerelor pe care le aveți și găsiți primul termen. Acesta este punctul de plecare, care poate fi desemnat folosind variabilele ca A (1).

Este obișnuit să lucrați cu secvențe aritmetice pentru a utiliza variabila A (1) pentru a desemna primul termen al unei secvențe. Puteți, bineînțeles, să alegeți orice variabilă dorită, iar rezultatele ar trebui să fie la fel.
De exemplu, având în vedere secvența $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., primul termen este $3$ $3$ , care pot fi desemnate algebric ca A (1).

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 9

2. Definiți diferența dvs. comună ca D. Găsiți diferența comună pentru secvența ca înainte. În acest exemplu de lucru, diferența comună este

8 - 3

$8-3$ , care este de 5 ani. Verificarea cu alți termeni din secvență oferă același rezultat. Vom observa această diferență comună cu variabila algebrică D.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 10

3. Utilizați formula explicită. O formulă explicită este o ecuație algebrică pe care o puteți utiliza pentru a găsi orice manda a unei secvențe aritmetice, fără a fi nevoie să scrieți lista completă. Formula explicită pentru o secvență algebrică este

A (n) = A (1) + (n - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) d$ .

Termenul A (N) poate fi citit ca "Termenul NT al A", unde n reprezintă ce număr din lista pe care doriți să o găsiți și o (N) este valoarea reală a acestui număr. De exemplu, dacă vi se cere să găsiți cel de-al 100-lea element într-o secvență aritmetică, atunci n va fi 100. Rețineți că N este de 100, în acest exemplu, dar o (n) va fi valoarea celor 100 de mandate, nu numărul 100 în sine.

Imagine intitulată Găsiți orice perioadă a unei secvențe aritmetice Pasul 11

4. Completați informațiile dvs. pentru a rezolva problema. Folosind formula explicită pentru secvența dvs., completați informațiile pe care le cunoașteți pentru a găsi termenul de care aveți nevoie.

De exemplu, în exemplul de lucru

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., știm că un (1) este primul termen 3, iar diferența comună D este de 5. Să presupunem că vi se cere să găsiți cel de-al 100-lea termen în acea secvență. Apoi n = 100 și (n-1) = 99. Formula completă explicită, cu datele completate, este atunci

A (100) = 3 + (99) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . Acest lucru simplifică 498, care este cel de-al 100-lea termen al acelei secvențe.

Metoda 4 din 4:

Folosind formula explicită pentru a găsi informații suplimentare

1. Rearanjați formula explicită pentru a rezolva pentru alte variabile. Folosind formula explicită și o algebră de bază, puteți găsi mai multe informații despre o secvență aritmetică. În forma sa originală,

A (n) = A (1) + (n - 1) D

$a (n) = a (1) + (n-1) d$ , Formula explicită este concepută pentru a rezolva pentru a_n și să vă dau mandat al unei secvențe. Cu toate acestea, puteți manipula algebraic această formulă și puteți rezolva oricare dintre variabilele.

De exemplu, să presupunem că aveți sfârșitul unei liste de numere, dar trebuie să știți ce a fost începutul secvenței. Puteți rearanja formula pentru a vă oferi $A (1) = A (n) - (n - 1) D$ ${ DisplayStyle A (1) = A (N) - (n-1) d}$
Dacă știți punctul de plecare al unei secvențe aritmetice și a punctului său de sfârșit, dar trebuie să știți câți termeni sunt în listă, puteți rearanja formula explicită pentru a rezolva pentru n. Asta ar fi $n = A (n) - A (1) D + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
Dacă aveți nevoie să revizuiți regulile de bază ale algebrei pentru a crea acest rezultat, verificați Aflați algebra sau Simplificați expresii algebrice.

Imaginea intitulată găsiți orice termen a unei secvențe aritmetice Pasul 13

2. Găsiți primul termen al unei secvențe. S-ar putea să știți că cel de-al 50-lea mandat al unei secvențe aritmetice este de 300 și știți că termenii au crescut cu 7 ("diferența comună"), dar doriți să aflați ce a fost primul mandat al secvenței. Utilizați formula explicită revizuită care rezolvă pentru A1 pentru a vă găsi răspunsul.

Utilizați ecuația

A (1) = (n - 1) D - A (n)

$A (1) = (n-1) d-a (n)$ , și completați informațiile pe care le cunoașteți. Din moment ce știți că cel de-al 50-lea termen este de 300, apoi n = 50, n-1 = 49 și A (n) = 300. De asemenea, vi se oferă că diferența comună, D, este 7. Prin urmare, formula devine

A (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . Acest lucru funcționează

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . Secvența pe care ați început-o la 43 și numită 7. Prin urmare, se pare că 43,50,57,64,71,78 ... 293.300.

Imagine intitulată Găsiți orice durată a unei secvențe aritmetice Pasul 14

3. Găsiți lungimea unei secvențe. Să presupunem că știți totul despre începutul și sfârșitul unei secvențe aritmetice, dar trebuie să aflați cât timp este. Utilizați formula revizuită

n = A (n) - A (1) D + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

Să presupunem că știți că o anumită secvență aritmetică începe la 100 și crește cu 13. De asemenea, vi se spune că termenul final este de 2.856. Pentru a găsi lungimea secvenței, utilizați termenii A1 = 100, D = 13 și A (n) = 2856. Introduceți acești termeni în formula pentru a da

n = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . Dacă lucrați afară, veți obține

n = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , care este egal cu 212 + 1, care este 213. Există 213 de termeni în acea secvență.

Această secvență de probă ar arăta ca 100, 113, 126, 139 ... 2843, 2856.

Avertizări

Există diferite tipuri de secvențe de numere. Nu presupuneți că o listă de numere este o secvență aritmetică. Verificați întotdeauna cel puțin două perechi de termeni sau, de preferință, trei sau patru, pentru a găsi diferența comună între termenii.