3 moduri de a factura ecuațiile algebrice

În matematică, Factoring este actul de a găsi numerele sau expresiile care se înmulțesc împreună pentru a face un anumit număr sau ecuație. Factoringul este o abilitate utilă de a învăța în scopul rezolvării problemelor de algebră de bază - capacitatea de a factura competent devine aproape esențială atunci când se ocupă de ecuațiile patrate și alte forme de polinoame. Factoringul poate fi folosit pentru a simplifica expresiile algebrice pentru a face rezolvarea mai simplă. Factoringul vă poate oferi chiar și posibilitatea de a elimina anumite răspunsuri posibile mult mai repede decât ați putea rezolva manual.

Pași

Metoda 1 din 3:

Numere de factoring și expresii algebrice de bază

1. Înțelegeți definiția factoringului atunci când este aplicată numerelor unice. Factoringul este simplu simplu, dar, în practică, se poate dovedi a fi o provocare atunci când este aplicată ecuațiilor complexe. Din acest motiv, este mai ușor să abordăm conceptul de factoring, începând cu numere simple, apoi treceți la ecuații simple înainte de a trece în cele din urmă la aplicații mai avansate. Un număr dat Factori sunt numerele care se înmulțesc pentru a da acest număr. De exemplu, factorii de 12 sunt 1, 12, 2, 6, 3 și 4, deoarece 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4 toate egale cu 12.

Un alt mod de a gândi acest lucru este că factorii unui anumit număr sunt numerele prin care este chiar divizibil.
Puteți găsi toți factorii din numărul 60? Folosim numărul 60 pentru o mare varietate de scopuri (minute într-o oră, secunde într-un minut etc.) deoarece este chiar divizibil de o gamă destul de largă de numere.

Factorii de 60 sunt 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

Imagine intitulată Ecuații algebrice Pasul 2

2. Înțelegeți că expresiile variabile pot fi, de asemenea, luate în considerare. La fel cum numerele singure pot fi luate în considerare, deoarece și variabilele cu coeficienți numerici să fie luate în considerare. Pentru a face acest lucru, găsiți pur și simplu factorii coeficientului de variabil. Știind cum să factor variabilele este utilă pentru simplificarea ecuațiilor algebrice pe care variabilele fac parte din.

De exemplu, variabila 12x poate fi scrisă ca un produs al factorilor de 12 și x. Putem scrie 12x ca 3 (4x), 2 (6x) etc., folosind oricare dintre factorii de 12 sunt cei mai buni pentru scopurile noastre.

Putem chiar să mergem cât de departe de factor 12x de mai multe ori. Cu alte cuvinte, nu trebuie să ne oprim cu 3 (4x) sau 2 (6x) - putem factura 4x și 6x pentru a da 3 (2 (2x) și 2 (3 (2x), respectiv. Evident, aceste două expresii sunt egale.

Imagine intitulată Ecuații algebrice Etapa 3

3. Aplicați proprietatea distributivă a multiplicării la ecuațiile algebrice ale factorului. Folosind cunoștințele despre modul de a face atât numerele singure și variabilele cu coeficienți, puteți simplifica ecuațiile algebrice simple prin găsirea unor factori că numerele și variabilele într-o ecuație algebrică au în comun. De obicei, pentru a face ca ecuația cât mai simplă, încercăm să căutăm cel mai mare factor comun. Acest proces de simplificare este posibil din cauza proprietății distributive a multiplicării, care afirmă că pentru orice numere A, B și C, A (B + C) = AB + AC.

Să încercăm o problemă de exemplu. Pentru a factura ecuația algebrică 12 x + 6, mai întâi, să încercăm să găsim cel mai mare complicator de 12x și 6. 6 este cel mai mare număr care se împarte uniform în 12x și 6, astfel încât să putem simplifica ecuația la 6 (2x + 1).

Acest proces se aplică și ecuațiilor cu negative și fracțiuni. X / 2 + 4, de exemplu, pot fi simplificate la 1/2 (x + 8), și -7x + -21 pot fi luate în considerare la -7 (x + 3).

Metoda 2 din 3:

Factoring ecuații patrate

1. Asigurați-vă că ecuația este în formă patrată (AX + BX + C = 0). Ecuațiile patrate sunt ale formularului Ax + BX + C = 0, unde A, B și C sunt constante numerice și A nu este egal cu 0 (rețineți că a poate sa egal cu 1 sau -1). Dacă aveți o ecuație care conține o variabilă (X) care are unul sau mai mulți condiții de x la a doua putere, puteți schimba, de obicei, termenii în ecuația în jurul utilizând operațiile algebrice de bază pentru a obține 0 pe o parte a semnului și axului egal, etc. pe de altă parte.

De exemplu, să luăm în considerare ecuația algebrică. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 pot fi simplificate la x + 6x + 9 = 0, care este în forma patrată.
Ecuații cu puteri mai mari de x, cum ar fi x, x, etc. nu pot fi ecuații patrate. Ele sunt ecuații cubice, ecuații cu cvartice și așa mai departe, cu excepția cazului în care ecuația poate fi simplificată pentru a elimina acești termeni de x deasupra puterii de 2.

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 5

2. În ecuațiile patrate în care A = 1, factor la (x + d) (x + e), unde d × e = c și d + e = b. Dacă ecuația dvs. patratic este în formularul X + BX + C = 0 (cu alte cuvinte, dacă coeficientul modelului X = 1), este posibil (dar nu este garantat) că o comandă rapidă relativ simplă poate fi utilizată pentru a factura ecuaţie. Găsiți două numere care se înmulțesc atât pentru a face c și adăugați pentru a face b. Odată ce ați găsit aceste două numere D și E, plasați-le în următoarea expresie: (x + d) (x + e). Acești doi termeni, atunci când se înmulțesc împreună, produc ecuația dvs. patrată - cu alte cuvinte, ele sunt factorii dvs. de ecuație patrati.

De exemplu, să luăm în considerare ecuația patrată x + 5x + 6 = 0. 3 și 2 multiplicați împreună pentru a face 6 și, de asemenea, adăugați pentru a face 5, astfel încât să putem simplifica această ecuație (X + 3) (x + 2).

Variații ușoare pe această comandă rapidă de bază există pentru o ușoară variație a ecuației în sine:

Dacă ecuația patrată este în formularul X-BX + C, răspunsul dvs. este în acest formular: (x - _) (x - _).

Dacă este în formularul X + BX + C, răspunsul dvs. arată astfel: (x + _) (x + _).

Dacă este în formularul X-BX-C, răspundeți este în formularul (X + _) (X - _).

NOTĂ: Numerele din blank pot fi fracțiuni sau zecimale. De exemplu, ecuația x + (21/2) x + 5 = 0 factori la (x + 10) (x + 1/2).

Imagine intitulată Ecuații algebrice Pasul 6

3. Dacă este posibil, factorul prin inspecție. Credeți sau nu, pentru ecuațiile patrate necomplicate, unul dintre mijloacele acceptate de factoring este pur și simplu să examinați problema, apoi să luați în considerare posibilele răspunsuri până când găsiți cea potrivită. Acest lucru este, de asemenea, cunoscut sub numele de factoring prin inspecție. Dacă ecuația se află în formularul Ax + BX + C și a>1, răspunsul dvs. important va fi în formă (dx +/- _) (ex +/- _), unde D și E sunt constante numerice nonzero care se înmulțesc pentru a face o. Fie D sau E (sau ambele) poate sa fi numărul 1, deși acest lucru nu este neapărat așa. Dacă ambele sunt 1, ați utilizat, în esență, comanda rapidă descrisă mai sus.

Să luăm în considerare o problemă de exemplu. 3x - 8x + 4 la început pare intimidant. Cu toate acestea, odată ce realizăm că 3 au doar doi factori (3 și 1), devine mai ușor, deoarece știm că răspunsul nostru trebuie să fie în formă (3x +/- _) (x +/- _). În acest caz, adăugarea A -2 la ambele spații goale dă răspunsul corect. -2 × 3x = -6x și -2 × x = -2x. -6x și -2x Adaugă la -8x. -2 × -2 = 4, astfel încât să vedem că termenii de fapt în paranteze se multiplică pentru a deveni ecuația inițială.

Imagine intitulată Ecuații algebrice Pasul 7

4. Rezolva prin completarea pătratului. În unele cazuri, ecuațiile patrate pot fi rapid și ușor de luat în considerare prin utilizarea unei identități algebrice speciale. Orice ecuație patrată a formei x + 2xh + h = (x + h). Deci, dacă, în ecuația dvs., valoarea dvs. B este de două ori rădăcina pătrată a valorii C, ecuația dvs. poate fi luată în considerare (X + (SQRT (C))).

De exemplu, ecuația x + 6x + 9 se potrivește acestei forme. 3 este de 9 și 3 × 2 este 6. Deci, știm că forma facută a acestei ecuații este (x + 3) (x + 3) sau (x + 3).

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 8

5. Utilizați factori pentru a rezolva ecuațiile patrate. Indiferent de modul în care ați factor expresia dvs. patratic, odată ce este luată în considerare, puteți găsi posibile răspunsuri pentru valoarea lui x prin setarea fiecărui factor egal cu zero și rezolvarea. Deoarece căutați valori de x care provoacă ecuația dvs. la egal zero, o valoare a lui X care face ca oricare dintre factorii dvs. să fie egali zero este un posibil răspuns pentru ecuația dvs. patratic.

Să revenim la ecuația x + 5x + 6 = 0. Această ecuație reflectată (x + 3) (x + 2) = 0. Dacă oricare dintre factori este egal cu 0, întreaga ecuație este egală cu 0, astfel încât răspunsurile noastre posibile pentru x sunt numerele care fac (x + 3) și (x + 2) egal 0. Aceste numere sunt -3 și respectiv -2.

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 9

6. Verificați răspunsurile dvs. - unele dintre ele pot fi străine! Când ați găsit răspunsurile posibile pentru X, conectați-le înapoi la ecuația dvs. originală pentru a vedea dacă acestea sunt valide. Uneori, răspunsurile pe care le găsești nu provoacă ecuația inițială la zero egal atunci când este conectat înapoi în. Noi numim aceste răspunsuri Extraneau și să le ia în considerare.

Haideți să conectați -2 și -3 intox + 5x + 6 = 0. În primul rând, -2:

(-2) + 5 (-2) + 6 = 0

4 + -10 + 6 = 0

0 = 0. Acest lucru este corect, așa că -2 este un răspuns valid.

Acum, să încercăm -3:

(-3) + 5 (-3) + 6 = 0

9 + -15 + 6 = 0

0 = 0. Acest lucru este, de asemenea, corect, așa -3 este, de asemenea, un răspuns valid.

Metoda 3 din 3:

Factoring alte forme de ecuații

1. Dacă ecuația este în forma A-B, factorului său la (A + B) (A-B). Ecuații cu două factor de variabile diferite decât cvadraticii de bază. Pentru orice ecuație A-B unde A și B nu sunt egali 0, factorii de ecuații la (A + B) (A-B).

De exemplu, ecuația 9x - 4Y = (3x + 2Y) (3x - 2Y).

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 11

2. Dacă ecuația este în formularul A + 2AB + B, factorul la (A + B). Rețineți că, dacă trinomul este în forma A-2AB + B, forma factorială este puțin diferită: (a-b).

Ecuația 4x + 8XY + 4Y poate fi re-scris ca 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Acum putem vedea că este în forma corectă, astfel încât să putem spune cu încredere că factorii de ecuații (2x + 2y)

Imagine intitulată Ecuații algebrice de factor Pasul 12

3. Dacă ecuația este în forma A-B, factorului său la (a-b) (a + ab + b). În cele din urmă, se menționează că cubicele și chiar ecuațiile de ordin superior pot fi luate în considerare, deși procesul de factoring devine rapid complicat prohibitiv.

De exemplu, 8x - 27 de factori la (2x - 3Y) (4x + (2x) (3y)) + 9Y)

Video.

Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi împărtășite cu YouTube.

sfaturi

A-B este de fapt, A + B nu este de facturare.

Amintiți-vă cum să factorului constante - ar putea ajuta.

Feriți-vă de fracțiunile din procesul de factoring și lucrați cu ei corect și cu atenție.

Dacă aveți un trinomial în formularul X + BX + (B / 2), formularul de factor este (X + (B / 2)). (Este posibil să aveți această situație în timp ce completați piața.)

Amintiți-vă că A0 = 0 (Proprietatea Zero-Produs).