Cum de a crea o garnitură apolloniană

O garnitură Apollonia este un tip de Fractal Imagine care este formată dintr-o colecție de cercuri tot mai mici, conținute într-un singur cerc mare. Fiecare cerc în garnitura Apollonian este tangentă la cercurile adiacente - cu alte cuvinte, cercurile din garnitura Apollonia fac contact la puncte infinit mici. Numit pentru matematicianul grec Apollonius de Perga, acest tip de fractal poate fi tras (cu mâna sau pe calculator) la un grad rezonabil de complexitate, formând o imagine frumoasă și izbitoare. Vedeți pasul 1 de mai jos pentru a începe.

Pași

Partea 1 din 2:
Înțelegeți conceptele cheie

Pentru a fi perfect clar, dacă sunteți pur și simplu interesat desen O garnitură Apolloniană, nu este esențială pentru a cerceta principiile matematice din spatele fractalului. Cu toate acestea, dacă doriți o înțelegere mai profundă a garniturilor Apollonian, este important să înțelegeți definițiile mai multor concepte pe care le vom folosi atunci când le discutăm.

  1. Imaginea intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 1
1. Definiți termenii cheie. Următorii termeni sunt utilizați în instrucțiunile de mai jos:
  • Garnitura Apollonia: una din mai multe nume pentru un tip de fractal compus dintr-o serie de cercuri imbricate în interiorul unui cerc mare și tangent tuturor celorlalți din apropiere. Acestea sunt numite și ele "Sody cercuri" sau "Sărutând cercurile".
  • Radius a unui cerc: Distanța de la punctul central al unui cerc la marginea sa. De obicei, a fost atribuită variabila R.
  • Curbura unui cerc: Inversarea pozitivă sau negativă a razei sau ± 1 / r. Curbura este pozitivă atunci când se ocupă de curbura exterioară a cercului și negativă pentru curbura interioară.
  • Tangent: Un termen aplicat la linii, avioane și forme care se intersectează la un punct infinit de mic. În garniturile Apollonian, aceasta se referă la faptul că fiecare cerc atinge fiecare cerc din apropiere la un singur punct. Rețineți că nu există intersecții - forme tangente nu se suprapun.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 2
    2. Să înțeleagă teorema lui Descartes.Teorema lui Descartes este o formulă utilă pentru calcularea dimensiunilor cercurilor într-o garnitură Apolloniană. Dacă definim curbările (1 / r) ale oricăror trei cercuri ca A, B, și C, respectiv, teorema afirmă că curbura cercului (sau cercuri) tangent la toate cele trei, pe care le vom defini ca D, este: d = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)).
  • Pentru scopurile noastre, în general, vom folosi doar răspunsul pe care îl obținem prin punerea unui semn plus în fața rădăcinii pătrate (cu alte cuvinte, ... + 2 (SQRT (...)). Deocamdată, este suficient să știți că forma de scădere a ecuației are utilizările sale în alte sarcini conexe.
    • Partea 2 din 2:
    Construirea garniturii Apollonian

    Garniturile Apollonian iau forma unor aranjamente fractale frumoase ale cercurilor în scădere. Matematic, garniturile Apollonian au complexitate infinită, dar, indiferent dacă utilizați un program de desen al calculatorului sau unelte tradiționale de desen, veți ajunge în cele din urmă la un punct la care este imposibil să desenezi cercuri mai mici. Rețineți că cu cât vă atrageți mai precis cercurile, cu atât veți putea să vă potriviți în garnitură.

    1. Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 3
    1. Strângeți uneltele de desen digital sau analogic. În pașii de mai jos, vom face garnitura noastră simplă Apollonian. Este posibil să desenezi garnituri Apollonian cu mâna sau pe computer. În ambele cazuri, veți dori să fiți capabili să trageți cercuri perfect rotunde. Acest lucru este destul de important. Deoarece fiecare cerc într-o garnitură Apollonia este perfect tangentă cercurilor de lângă ea, cercurile care sunt chiar ușor deformate pot "arunca" produsul final.
    • Dacă desenați garnitura de pe un computer, veți avea nevoie de un program care vă permite să trageți cu ușurință cercuri de o rază fixă ​​dintr-un punct central. GFIG, o extensie vectorială pentru programul de editare gratuită a imaginilor GIMP, poate fi utilizată, deoarece poate o gamă largă de alte programe de desen (vezi secțiunea Materiale pentru legăturile relevante). De asemenea, veți avea nevoie, probabil, de o aplicație de calculator și un document de procesor cuvânt, fie un notepad fizic pentru a lua note despre curbaturi și raze.
    • Pentru trasarea garniturii cu mâna, veți avea nevoie de un calculator (sugerat științific sau grafic), un creion, busolă, conducător (de preferință o scală cu marcaj milimetru, hârtie de grafic și un notepad pentru luarea notării.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 4
    2. Începeți cu un cerc mare. Prima dvs. sarcină este ușoară - trageți doar un cerc mare, perfect rotund. Cu cât este mai mare cercul este, cu atât este mai complexă garnitura dvs., deci încercați să faceți un cerc atât de mare, deoarece hârtia permite sau la fel de mare posibil ca puteți vedea cu ușurință într-o singură fereastră din programul dvs. de desen.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 5
    3. Creați un cerc mai mic în interiorul originalului, tangentă într-o parte. Apoi, trageți un alt cerc în interiorul primului care este mai mic decât originalul, dar încă destul de mare. Dimensiunea exactă a celui de-al doilea cerc este de până la tine - nu există o dimensiune corectă. Cu toate acestea, pentru scopurile noastre, să atragem al doilea cerc astfel încât să ajungă exact la jumătatea drumului nostru mare. Cu alte cuvinte, să atragem al doilea cerc, astfel încât punctul său central este punctul central al razei cercului mare.
  • Amintiți-vă că în garniturile Apollonian, toate cercurile pe care le atinge sunt tangente unul altuia. Dacă folosiți o busolă pentru a vă desena cercurile cu mâna, recreați acest efect prin punerea punctului ascuțit al busolei la mijlocul razei marii cercului exterior, ajustându-vă creionul astfel încât acesta doar atinge marginea cercului mare, apoi desenați cercul interior mai mic.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 6
    4. Desenați un cerc identic "de la" cercul interior mai mic. Apoi, să tragem un alt cerc peste prima noastră. Acest cerc ar trebui să fie tangent atât pentru cercul exterior mare, cât și pentru cercul interior mai mic, ceea ce înseamnă că cele două cercuri interioare vor atinge la mijlocul exact al cercului exterior mare.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 7
    5. Aplicați teorema lui Descartes pentru a găsi dimensiunea următoarelor cercuri. Să oprim desenul pentru o clipă. Acum că avem trei cercuri în garnitura noastră, putem folosi teorema lui Descartes pentru a găsi raza următorului cerc pe care îl vom desena. Amintiți-vă că teorema lui Descartes este d = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A)), În cazul în care A, B și C sunt curbările celor trei cercuri tangente și D este curbura cercului tangentă tuturor celor trei. Așadar, pentru a găsi raza următorului nostru cerc, să găsim curbura fiecăruia dintre cercurile pe care le avem până acum, astfel încât să găsim curbura cercului următor, apoi să convertesc acest lucru la raza sa.
  • Să definim raza cercului nostru exterior ca 1. Deoarece celelalte cercuri sunt în interiorul acestuia, avem de-a face cu ei interior curbură (mai degrabă decât curbura ei exterioară), și, în consecință, știm că curbura lui este negativă. - 1 / r = -1/1 = -1. Curbura mare a cercului este -1.
  • Radiile mai mici ale cercurilor sunt la jumătate la fel de mari ca și cercul mare sau, cu alte cuvinte, 1/2. Deoarece aceste cercuri se ating reciproc și cercul mare cu marginea lor afară, avem de-a face cu ei exterior curbură, astfel încât curbările lor sunt pozitive. 1 / (1/2) = 2. Curbările mai mici ale cercurilor sunt ambele 2.
  • Acum, știm că a = -1, b = 2 și c = 2 pentru ecuația teoreme a lui Descartes. Să rezolvăm pentru D:
  • d = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • D = -1 + 2 + 2 ± 2 (SQRT (-2 + 4 + -2)))
  • d = -1 + 2 + 2 ± 0
  • d = -1 + 2 + 2
  • d = 3. Curbura următorului nostru cerc este 3. Deoarece 3 = 1 / R, raza următorului nostru cerc este 1/3.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 8
    6. Creați următorul set de cercuri. Utilizați valoarea razei pe care tocmai ați găsit-o pentru a desena următoarele două cercuri. Amintiți-vă că acestea vor fi tangente ale cercurilor ale căror curburi ați folosit pentru A, B și C în teorema lui Descartes. Cu alte cuvinte, ei vor fi tangente atât pentru cercurile originale, cât și cele două cercuri. Pentru ca aceste cercuri să fie tangente tuturor celor trei cercuri, va trebui să le desenezi în spațiile deschise din partea de sus și de jos a zonei din interiorul cercului original mare.
  • Amintiți-vă că aceste raze ale cercurilor vor fi egale cu 1/3. Măsurați 1/3 înapoi de la marginea cercului exterior, apoi trageți noul cerc. Ar trebui să fie tangentă tuturor celor trei cercuri înconjurătoare.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 9
    7. Continuați în acest mod pentru a continua să adăugați cercuri. Deoarece sunt fractale, garniturile Apollonian sunt infinit complexe. Aceasta înseamnă că puteți adăuga cercuri mai mici și mai mici la conținutul inimii dvs. Ești limitat doar să fii precizia instrumentelor dvs. (sau, dacă utilizați un computer, capacitatea programului dvs. de desen "mareste"). Fiecare cerc, indiferent cât de mic ar trebui să fie tangent la alte trei cercuri. Pentru a desena fiecare cerc ulterior în garnitura dvs., conectați curbările celor trei cercuri va fi tangentă în teorema lui Descartes. Apoi, utilizați răspunsul dvs. (care va fi raza noului dvs. cerc) pentru a vă atrage cu exactitate noul cerc.
  • Rețineți că garnitura pe care am ales să o tragem este simetrică, astfel încât raza unui cerc este aceeași cu cercul corespunzător "peste el". Cu toate acestea, știți că nu fiecare garnitură Apollonia este simetrică.
  • Să abordăm încă un exemplu. Să spunem că, după ce am desenat ultimul nostru set de cercuri, acum vrem să tragem cercurile care sunt tangente la al treilea set, al doilea set și cercul nostru mare. Curbările acestor cercuri sunt de 3, 2 și respectiv -1. Să conectăm aceste numere în teorema lui Descartes, setând A = -1, B = 2 și C = 3:
  • d = A + B + C ± 2 (SQRT (A × B + B × C + C × A))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (-2 + 6 + -3)))
  • D = -1 + 2 + 3 ± 2 (SQRT (1))
  • d = -1 + 2 + 3 ± 2
  • d = 2, 6. Avem două răspunsuri! Cu toate acestea, pentru că știm că noul nostru cerc va fi mai mic decât oricare dintre cercuri este tangent, doar o curbură de 6 (și, prin urmare, o rază de 1/6) are sens.
  • Celălalt răspuns, 2, de fapt, se referă la cercul ipotetic de pe altă parte a punctului tangent al celei de-a doua și a treia cercuri. Acest cerc este tangentă la ambele cercuri și la cercul mare exterior, dar ar intersecta cercurile pe care le-am tras deja, astfel încât să ne putem lua în considerare.
  • Imagine intitulată Creați un garnitură Apollonian Pasul 10
    8. Pentru o provocare, încercați să faceți o garnitură apolloniană non-simetrică prin schimbarea dimensiunii celui de-al doilea cerc. Toate garniturile Apollonian încep la fel - cu un cerc exterior mare care acționează ca marginea fractalului. Cu toate acestea, nu există nici un motiv ca cel de-al doilea cerc în mod necesar Are pentru a avea 1/2 raza primului - am ales doar să facem acest lucru de mai sus, deoarece este simplu și ușor de înțeles. Pentru distracție, încercați să începeți o garnitură nouă cu un al doilea cerc de dimensiuni diferite - acest lucru va duce la noi căi de explorare interesante.
  • După ce a desenat cel de-al doilea cerc (indiferent de dimensiunea sa), următoarea act ar trebui să fie de a atrage una sau mai multe cercuri care sunt tangente atât pentru ea, cât și pentru cercul mare mare - nu există nici o modalitate corectă de a face acest lucru. După aceasta, puteți utiliza teorema lui Descartes pentru a determina razele oricăror cercuri ulterioare, după cum se arată mai sus.

    • sfaturi

    Partajați pe rețeaua socială:
    Similar