Cum să găsiți inversul unei matrice de 3x3

Operațiunile inverse sunt utilizate în mod obișnuit în algebră pentru a simplifica ceea ce altfel ar putea fi dificil. De exemplu, dacă o problemă vă cere să vă împărțiți printr-o fracțiune, puteți multiplica mai ușor de către reciprocitatea sa. Aceasta este o operație inversă. În mod similar, deoarece nu există niciun operator de divizare pentru matrice, trebuie să multiplicați prin matricea inversă. Calcularea inversă a unei matrice de 3x3 cu mâna este o treabă plictisitoare, dar merită revizuită. De asemenea, puteți găsi inversul utilizând un calculator de grafică avansat.

Pași

Metoda 1 din 3:
Creând matricea de adjudecare pentru a găsi matricea inversă
  1. Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 1
1. Verificați determinantul matricei. Trebuie să calculați determinantul matricei ca pas inițial. Dacă determinantul este 0, atunci lucrarea dvs. este terminată, deoarece matricea nu are inversă. Determinantul matricei M poate fi reprezentat simbolic ca DET (m).
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 2
    2. Transpuneți matricea originală. Transpunerea înseamnă că reflectă matricea despre diagonala principală sau echivalentă, schimbarea elementului (I, J) și (J, I). Când transpuneți termenii matricei, ar trebui să vedeți că diagonala principală (de la stânga sus la dreapta jos) este neschimbată.
  • O altă modalitate de a vă gândi la transpunere este că rescrieți primul rând ca prima coloană, rândul mijlociu devine coloana de mijloc, iar al treilea rând devine a treia coloană. Observați elementele colorate din diagrama de mai sus și vedeți unde numerele au schimbat poziția.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 3
    3. Găsiți determinantul fiecăruia dintre matricele minore 2x2. Fiecare element al matricei 3x3 nou transpuse este asociat cu o matrice corespunzătoare de 2x2 "minore". Pentru a găsi matricea minoră potrivită pentru fiecare termen, mai întâi evidențiați rândul și coloana termenului pe care îl începeți. Aceasta ar trebui să includă cinci termeni ai matricei. Restul de patru termeni alcătuiesc matricea minoră.
  • În exemplul prezentat mai sus, dacă doriți ca matricea minoră a termenului din al doilea rând, prima coloană, evidențiați cei cinci termeni care se află în al doilea rând și prima coloană. Restul de patru termeni sunt matricea minoră corespunzătoare.
  • Găsiți determinantul fiecărei matrice minore prin înmulțirea încrucișată a diagonalelor și scăzând, după cum se arată.
  • Pentru mai multe despre matrice minore și utilizările lor, vezi Înțelegeți elementele de bază ale matricelor.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 4
    4. Creați matricea cofactorilor. Plasați rezultatele pasului anterior într-o nouă matrice de cofactori prin alinierea fiecărui determinant de matrice minor cu poziția corespunzătoare din matricea originală. Astfel, determinantul pe care l-ați calculat de la element (1,1) al matricei originale intră în poziție (1,1). Trebuie să inversați semnul termenilor alternativi din această nouă matrice, urmând modelul "Checkerboard" afișat.
  • La atribuirea semnelor, primul element al primului rând își păstrează semnul original. Cel de-al doilea element este inversat. Al treilea element își păstrează semnul original. Continuați cu restul matricei în acest mod. Rețineți că semnele (+) sau (-) din diagrama de la Checkerboard nu sugerează că termenul final ar trebui să fie pozitiv sau negativ. Ele sunt indicatori ai păstrarii (+) sau de inversare (-) indiferent de semnul numit inițial.
  • Pentru o revizuire a cofactorilor, vezi Înțelegeți elementele de bază ale matricelor.
  • Rezultatul final al acestui pas este numit matricea de adjudecare a originalului. Acest lucru este uneori denumit matricea adjudentului. Matricea de adjudecare este observată ca adj (m).
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 5
    5. Împărțiți fiecare termen al matricei de adjudecare de către determinant. Amintiți-vă determinantul cu care ați calculat în primul pas (pentru a verifica dacă inversul a fost posibil). Acum împărțiți fiecare termen al matricei prin această valoare. Plasați rezultatul fiecărui calcul în fața termenului original. Rezultatul este inversul matricei originale.
  • Pentru matricea de probă prezentată în diagramă, determinantul este 1. Prin urmare, împărțirea fiecărui termen al matricei de adjugente are ca rezultat matricea de adjudență în sine. (Nu veți fi întotdeauna atât de norocoși.)
  • În loc de împărțire, unele surse reprezintă acest pas ca înmulțirea fiecărui termen de m cu 1 / det (m). Matematic, acestea sunt echivalente.
    • Metoda 2 din 3:
    Folosind reducerea rândului liniar pentru a găsi matricea inversă
    1. Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 6
    1. Adjoseva matricea de identitate la matricea originală. Scrieți matricea originală M, trageți o linie verticală spre dreapta a acestuia, apoi scrieți matricea de identitate în partea dreaptă a acestuia. Ar trebui să aveți acum ceea ce pare a fi o matrice cu trei rânduri de șase coloane fiecare.
    • Amintiți-vă că matricea de identitate este o matrice specială cu 1s în fiecare poziție a diagonalei principale de la stânga sus la dreapta jos și 0s în toate celelalte poziții. Pentru o revizuire a matricei de identitate și a proprietăților sale, consultați Înțelegeți elementele de bază ale matricelor.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 7
    2. Efectuați operațiuni de reducere a rândului liniar. Obiectivul dvs. este de a crea matricea de identitate din partea stângă a acestei matrice nou augmentate. Pe măsură ce efectuați pași de reducere a rândului în stânga, trebuie să efectuați în mod constant aceleași operații din dreapta, care a început ca matrice de identitate.
  • Amintiți-vă că reducerile de rând sunt efectuate ca o combinație de multiplicare scalară și adăugare sau scădere a rândului, pentru a izola termenii individuali ai matricei. Pentru o revizuire mai completă, consultați Row-Reduce matricele.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 8
    3. Continuați până când formați matricea de identitate. Continuați să repetați operațiile liniare de reducere a rândului până când partea stângă a matricei dvs. augmentate afișează matricea de identitate (diagonală de 1s, cu alți termeni 0). Când ați ajuns în acest punct, partea dreaptă a divizorului dvs. vertical va fi inversul matricei originale.
  • Imagine intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 9
    4. Scrieți matricea inversă. Copiați elementele care apar acum în partea dreaptă a divizorului vertical ca matricea inversă.
    • Metoda 3 din 3:
    Folosind un calculator pentru a găsi matricea inversă
    1. Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 10
    1. Selectați un calculator cu capabilități matrice. Calculatoarele simple cu 4 funcții nu vor putea să vă ajute să găsiți direct inversul. Cu toate acestea, datorită naturii repetitive a calculelor, un calculator de grafică avansat, cum ar fi Texas Instruments Ti-83 sau TI-86, poate reduce foarte mult munca.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 11
    2. Introduceți matricea în calculator. În primul rând, introduceți funcția Matrix a calculatorului dvs. apăsând tasta Matrix, dacă aveți unul. Pe calculatoarele de instrumente Texas, poate fi necesar să apăsați 2 matrice.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 12
    3. Selectați submeniul Editați. Pentru a ajunge la submeniu, este posibil să fie necesar să utilizați butoanele săgeată sau să alegeți tasta funcțională corespunzătoare din partea de sus a tastaturii calculatorului dvs., în funcție de aspectul calculatorului dvs.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 13
    4. Selectați un nume pentru matricea dvs. Cele mai multe calculatoare sunt echipate pentru a lucra cu oriunde de la 3 la 10 matrice, etichetate cu litere A prin j. De obicei, alegeți doar [a] pentru a lucra cu. Apăsați tasta Enter după efectuarea selecției.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 14
    5. Introduceți dimensiunile matricei dvs. Acest articol se concentrează pe matricele 3x3. Cu toate acestea, calculatorul se poate ocupa de dimensiuni mai mari. Introduceți numărul de rânduri, apoi apăsați ENTER, iar apoi numărul de coloane și introduceți.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 15
    6. Introduceți fiecare element al matricei. Ecranul Calculator va afișa o matrice. Dacă ați lucrat anterior cu funcția Matrix, matricea anterioară va apărea pe ecran. Cursorul va evidenția primul element al matricei. Introduceți valoarea matricei pe care doriți să o rezolvați și apoi introduceți. Cursorul se va deplasa automat la următorul element al matricei, suprascrierea numerelor anterioare.
  • Dacă doriți să introduceți un număr negativ, utilizați butonul negativ al calculatorului (-) și nu cheia minus. Funcția Matrix nu va citi numărul corect.
  • Dacă este necesar, puteți utiliza tastele săgeată a calculatorului pentru a sări în jurul matricei.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 16
    7. Renunțați la funcția matricei. După ce ați introdus toate valorile matricei, apăsați tasta Quit (sau 2 Quit, dacă este necesar). Acest lucru vă va părăsi din funcția Matrix și vă va întoarce la ecranul principal al calculatorului dvs.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 17
    8. Utilizați tasta inversă pentru a găsi matricea inversă. În primul rând, redeschideți funcția matricei și utilizați butonul Nume pentru a selecta eticheta matricei pe care ați folosit-o pentru a defini matricea (probabil [A]). Apoi, apăsați tasta inversă a calculatorului, X-1{ displaystyle x ^ {- 1}}x ^ {{- 1}}. Acest lucru poate necesita utilizarea butonului 2, în funcție de calculator. Afișajul ecranului dvs. ar trebui să fie afișat A-1{ displaystyle a ^ {- 1}}A ^ {{- 1}}. Apăsați ENTER, iar matricea inversă ar trebui să apară pe ecran.
  • Nu utilizați butonul ^ de pe calculator pentru a încerca să introduceți un ^ -1 ca apăsări de taste separate. Calculatorul nu va înțelege această operațiune.
  • Dacă primiți un mesaj de eroare când introduceți cheia inversă, șansele sunt că matricea dvs. originală nu are o inversă. Poate doriți să vă întoarceți și să calculați determinantul pentru a afla.
  • Imaginea intitulată Găsiți inversul unei matrice 3x3 Pasul 18
    9. Conversia matricea inversă la răspunsurile exacte. Primul calcul pe care calculatorul îl va da este în formă zecimală. Acest lucru nu este considerat "exact" în majoritatea scopurilor. Ar trebui să convertiți răspunsurile zecimale la forma fracțională, după cum este necesar. (Dacă sunteți foarte norocos, toate rezultatele dvs. vor fi numere întregi, dar acest lucru este rar.)
  • Calculatorul dvs. are probabil o funcție care va transforma automat zecimalele la fracțiuni. De exemplu, folosind Ti-86, introduceți funcția matematică, apoi selectați DICC, și apoi Fracți și introduceți. Decimările vor apărea automat ca fracțiuni.
  • Imagine intitulată Calculați costul total Pasul 1
    10. Cele mai multe calculatoare de grafică au, de asemenea, taste de braț pătrate (pe Ti-84 este al doilea + x și 2 + -) care pot fi utilizați pentru a introduce o matrice fără a utiliza funcția matricei. Notă: Calculatorul nu va forma matricea până după ce tasta Enter / Equals a fost utilizată (i.E. totul va fi o linie și nu drăguță).

    • Video

    Prin utilizarea acestui serviciu, unele informații pot fi împărtășite cu YouTube.

    sfaturi

    Puteți urmări acești pași pentru a găsi inversul unei matrice care conține nu numai numere, ci și variabile, necunoscute sau chiar expresii algebrice.
  • Verificați dacă rezultatul dvs. este corect, oricare metodă pe care o alegeți, prin multiplicând M de M. Ar trebui să puteți verifica dacă m * m = m * m = i. I este matricea de identitate, constând din 1s de-a lungul diagonalei principale și de la altă parte. Dacă nu, ați făcut o eroare undeva.
  • Notați toate pașii, deoarece este extrem de dificil să găsiți inversul unei matrice de 3x3 în cap.
  • Există programe de calculator care să funcționeze inversarea matricelor pentru dvs., până la și inclusiv mărimea matricelor de 30x30.

    • Avertizări

    Nu toate matricele 3x3 au inverse. Dacă determinantul matricei este egal cu 0, atunci nu are o inversă. (Observați că, în formula, împărțim de către Det (m). Divizia de zero nu este definită.)
    Partajați pe rețeaua socială:
    Similar